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重庆市第七中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试卷

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2014—2015 学年(下)期末考试 高 2017 级数学(理)试题
考试说明:1.考试时间:120 分钟 2.试题总分:150 分 3.试卷页数:4 页
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合题目要求的. 1.某市有大型超市 100 家,中型超市 200 家,小型超市 700 家。为了了解各类超市的营业情 况,现按分层抽样抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市( A. 70 家 B. 50 家 C. 20 家 ) D. 10 家

2.已知 a ? b ,则下列结论正确的是( ) A. ac ? bc B.

1 1 ? a b

C. a 2 ? b 2

D. a ? c ? b ? c

3.已知等差数列 {a n } 中, a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 = 50 ,则 a3 ? ( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

4.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , a ? A. 45? B. 60? C. 120? 或 60? 4 40
? ?
?

2 , b ? 3 , B ? 60? ,则 A ? ( )
D. 135? 或 45? 6 50 ) D. 14 . 8 70

5.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据:

x
y

2 30

5 60

根据上表可得回归方程 y ? 6.5 x ? a ,则 a 的值为( A. 17.5 B. 27.5 C. 17

6. 甲、乙、丙三人随机站成一排照相,则出现甲、乙相邻且甲在乙左边的概率为( ) A.

1 2

B.

1 6

C.

1 3

D.

2 3

?x ? y ? 0 7.设 x, y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 Z ? x ? 2 y 的最小值为( ) ?y ? 3 ?

A. 1

B.

3 2

C. 2

D.

5 2
1

8. 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 则 输 出 k 的 值 为 (



A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

9. 已知 A 是圆心为 O 的圆周上的一定点, 若现另在圆周上任取一点 B , 则 ?AOB ? 率为( A. ) B.

?
3

的概

1 2

1 6

C.

1 3

D.

1 4

10. 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对边 分别 是 a, b, c , 若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 0 ,

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ? 0 , c ? 2 ,则 a ? (
A. 1 B.



3

C.

1 2

D.

3 2

11. 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 成等差数列,若不等式 ? ?

4 3? 1 1 ? ? ? A 2 ? C 2 对任意 3 A C

A, C 都成立,则实数 ? 的取值范围是(
A. ( ??,?



4? 2 4 3? 4? 2 ? ) ) B. (??, 9 3 9

C. (??,

6

?

?

2? 2 4 3? ? ) 9 3

2 D. (??, 6 ? 2? ) ? 9

12.已知数列 {a n } 满足:a n ? 2

?2 a n ? 1 (n ? 2k ? 1, k ? N ? ) ? , 且 a1 ? 1, a 2 ? 2 ,S n 为 ?? n ? 2 ? ?(?1) ? n (n ? 2k , k ? N )
) D. 20

数列 {a n } 的前 n 项和,若 S n ? 2046 成立的最大 n 值为( A. 17 B. 18 C. 19

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.不等式

2x ? 3 ? 0 的解集为 x ?1

.
1 2 4 7 8 8 0 1

14.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度, 统计了运动员在 6 场比赛中的得分,用茎叶图表示如图,则该组数据的方差 为 .

15.已知数列 {a n } 满足,首项 a1 ? 1 ,且

2 a n ?1

?

2 ? 1 ( n ? N ? ).则数列 {a n } 的通项公式 an

2

an ?

.

16.在 ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 2, AC ? 17 , AD 为 BC 边上的中线,则 ?ABD 内切圆半 径 r 的值为 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分, (1)小问 6 分, (2)小问 6 分) 已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和, a 4 ? 4, S 5 ? 15 . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若等比数列 {bn } 满足 b1 = a1 , b4 = a 27 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和, 且 Tn = 40 . 求 n 的值.

18.(本小题满分 12 分, (1)小问 7 分, (2)小问 5 分) 某商场搞促销活动,凡消费达到一定金额即可获得赠送的一定价值的小礼品,小礼品 的价值由抽奖方式来确定。抽奖按如下方式进行:盒中有一等奖奖券 1 张、二等奖、三等奖 的奖券各 2 张。顾客不放回地从盒中任抽 2 张(抽完后放回以供下位顾客抽取),根据奖券等 次获得相应的小礼品。某顾客消费达到了规定金额并参加了抽奖活动。 求: (1)该顾客抽取的 2 张奖券都是三等奖的概率; (2)该顾客抽取的 2 张奖券等次不同的概率.

3

19.(本小题满分 12 分, (1)小问 7 分, (2)小问 5 分) 某校 100 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 如右图所示,其中成绩分组区间[50,70), [70,90), [90,110), [110,130), [130,150], (1)求成绩在 [90,110) 内的人数及实数 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生数学成绩的*均分.(以各组的区间中点值 代表该组的各个值)

20. (本小题满分 12 分, (1)小问 4 分, (2)小问 7 分) 在锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , S 为 ?ABC 的面积,且满足

4 S sin C ? c 2 sin B .
(1)求角 A 的大小;
4

(2)已知 b ? c ? 4 ,求 a 的最小值,并求此时 ?ABC 的面积 S 的值.

21.(本小题满分 12 分, (1)小问 3 分, (2)小问 9 分) 关于 x 的一元二次不等式 ax ? (a ? b) x ? b ? 0 的解集为 (?2,?1) .
2

(1)求 a, b 满足的关系式;

(2)解关于 x 不等式 (bx ? 2)( x ? a ) ? 0 .

22.(本小题满分 10 分, (1)小问 3 分, (2)小问 7 分) 已知 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和, a1 ? c ( c 为常数且 c ? 0 ) ,且 S n ? ta n ? c ,

n? N?.
(1)求实数 t 的值及 {a n } 的通项公式; (2)设 bn ?

n c ? 2n , cn ? ,记数列 an S n ? S n ?1

5

{bn }, {c n } 的前 n 项和分别为 E n , Fn ,记 Tn ? E n ? Fn ,是否存在最小整数 M ,对任意的
n ? N ? ,有 Tn ≤ M 恒成立?若存在,求出 M 的值;若不存在,请说明理由.(记 [ x] 表示不
超过 x 的最大整数,如: [3] ? 3, [3.2] ? 3 )

6

2014—2015 学年(下)期末考试 高 2017 级数学(理)参考答案
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 C 2 D 3 B 4 A 5 A 6 C 7 B 8 C 9 C 10 A 11 A 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (?1, ) ; 三、解答题 17.(1) ?

3 2

14. 5 ;

15. a n ?

2 n ?1

16. 2 2 ? 6

?a 4 ? a1 ? 3d ? 4 .....................4分 , ?S 5 ? 5a1 ? 10d ? 15
故 a n ? n..................6分

可得: ?

?a1 ? 1 ..................5分 ?d ? 1

(2) b1 = a1 = 1, b4 = a 27 = 27............7分 , 又 b4 ? b1 q ,从而 q = 3...............9分
3

Tn ?

b1 (1 ? q n ) 1 ? 3 n 1 n ? ? (3 ? 1)............11分 1? q 1? 3 2

由 3 n ? 1 ? 80 ,可得 n = 4................12分 18.记一等奖的 1 张奖券为 a ,二等奖的 2 张奖券为 b1 , b2 ,三等奖的 2 张奖券为 c1 , c 2 从此 5 张奖券中抽取 2 张,所有结果有: {a, b1 } , {a, b2 } , {a, c1 } , {a, c 2 } , {b1 , b2 } ,

{b1 , c1} , {b1 , c 2 } , {b2 , c1 } , {b2 , c 2 } , {c1 , c 2 } 共 10 种
……………………4 分 (1)该顾客抽取 2 张都是三等奖的有: {c1 , c 2 } 共 1 种,故 P 1 =

1 10

……………………7 分 (2) Ai (i=2,3)分别表示 2 张奖券都为 i 等奖, P=1- P( A2 )-P( A3 )=1-2 P1 =

4 ……………12 分 5

19.(1)成绩在 [90,110) 内的人数为: 0.015 ×20 ×100 = 30 (人)…4 分
7

由 (0.02 + 0.015 + 0.01 + 2a ) ×20 = 1 ,可得 a = 0.0025 ………….7 分 (2)*均分为:

(60 ? 0.0025 ? 80 ? 0.02 ? 100 ? 0.015 ? 120 ? 0.01 ? 140 ? 0.0025) ? 20 ? 96 (分)
………………...12 分 20. (1) 4 S sin C ? c 2 sin B ,即 4 ? 由正弦定理得: 4 ?

1 bc sin A sin C ? c 2 sin B …..2 分 2

1 sin B sin 2 C sin A ? sin 2 C sin B …………..3 分 2

又 sin B ? 0, sin C ? 0 故 sin A ?

1 ? 5? ? ,可得 A ? 或 ,由题知 A ? …….…4 分 2 6 6 6

(2)由余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A …………….…5 分

? (b ? c) 2 ? (2 ? 3 )bc ? 16 ? (2 ? 3 )bc …………….…7 分
因 b ? c ? 4 ? 2 bc ? bc ? 4 (当且仅当 b ? c ? 2 时取等号).….9 分 故 a2 ? 8 ? 4 3 ? a ? 故: a min ? 此时: S ?

8 ? 4 3 ? 6 ? 2 (当且仅当 b ? c ? 2 时取等号)

8 ? 4 3 ? 6 ? 2 ,………………………..10 分

1 1 1 bc sin A ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ……………………12 分 2 2 2

a?b ? (?2) ? (?1) ? ? ? ? a 21. (1)由题知: ? ………….2 分 ?(?2) ? (?1) ? b ? a ?

? b ? 2a ……….3 分
(2)由(1)知 b ? 2a , (2ax ? 2)( x ? a ) ? 0 …….4 分

1 )( x ? a ) ? 0 ……….6 分 a 1 1 当 a ? ? 0 时,即 a ? ?1 时,原不等式解集为 (a, ) ……….8 分 a a 1 当 a ? ? 0 时,即 a ? ?1 时,原不等式解集为 ? ……….10 分 a 1 1 当 a ? ? 0 时,即 ? 1 ? a ? 0 时,原不等式解集为 ( , a ) ……….12 分 a a 1 综上: 当 ? 1 ? a ? 0 时, 原不等式解集为 ( , a ) ; 当 a ? ?1 时, 原不等式解集为 ? ; a
由题意可知 a ? 0 …….5 分 ∴ (x ?



8

1 a ? ?1 时,原不等式解集为 (a, ) a
22. (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ta1 ? a1 ,又 a1 ? 0 ,可得 t ? 2 ……….1 分 即 S n ? 2a n ? c , 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (2a n ? c) ? (2a n ?1 ? c) ? a n ? 2a n ?1 ….2 分 即数列 {a n } 是以 c 为首项,2 为公比的等比数列,从而 a n ? c ? 2 n ?1 ….3 分 (2) bn ?

n 1 1 n ?1 ? n( ) an c 2

1 1 1 1 1 1 E n ? [1 ? ( ) 0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ? 2 ? n ? ( ) n ?1 ] c 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 E n ? [1 ? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ] 2 c 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 两式相减: E n ? [1 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ] 2 c 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 1 2 ? n ? ( 1 ) n ] ? 1 [2 ? (n ? 2) ? ( 1 ) n ] ? [ 1 c 2 c 2 1? 2 2 1 从而 E n ? [2 ? (n ? 2) ? ( ) n ] ……..….5 分 c 2
S n ? c(2 n ? 1)

cn ?

c ? 2n c ? 2n 1 1 1 ? ? ( n ? n ?1 ) n n ?1 S n ? S n ?1 c(2 ? 1) ? c(2 ? 1) c 2 ? 1 2 ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Fn ? [( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n ?1 )] ? (1 ? n ?1 ) c 2 ?1 2 ?1 c 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
……………….7 分

2 1 1 1 1 1 1 Tn ? E n ? Fn ? [2 ? (n ? 2) ? ( ) n ] ? (1 ? n ?1 ) ? [5 ? (2n ? 4) ? ( ) n ? n ?1 ] c 2 c 2 2 ?1 c 2 ?1
假设存在 m,对任意 n ∈ N * , Tn ? m 恒成立,则 m 大于或等于 Tn 所有值. 令 f (n) ? 5 ? (2n ? 4) ? ( ) n ?

?1 1 1 1 1 又 f (n ? 1) ? f (n) ? [5 ? (2n ? 6) ? ( ) n ?1 ? n ? 2 ] ? [5 ? (2n ? 4) ? ( ) n ? n ?1 ] 2 2 2 ?1 2 ?1 1 n ?1 1 1 n 1 ? [?(2n ? 6) ? ( ) ? n ? 2 ? (2n ? 4) ? ( ) ? n ?1 ] 2 2 2 ?1 2 ?1 2

1 2

1
n ?1

9

1 1 1 ? [(n ? 1) ? ( ) n ? n ?1 ? n?2 ]?0 2 2 ?1 2 ?1 5 即 { f (n)} 为递增数列, ? f (1) ? f (n) ? 5 ……………….8 分 3 5 1 5 5 ① 当 c ? 0 时, ? f (n) ? ,则必有 ? m 3c c c c 5 5 (ⅰ) 当 ? Z 时,故存在 M ? [ ] ; c c 5 5 (ⅱ) 当 ? Z 时,故存在 M ? [ ] ? 1 ………………9 分 c c 5 1 5 5 ②当 c ? 0 时, ? f (n) ? ,则必有 ?m c c 3c 3c
(ⅰ) 当

5 5 ? Z 时,故存在 M = [ ] ; 3c 3c 5 5 ? Z 时,故存在 M = [ ] + 1 3c 3c
……………….10 分

(ⅱ) 当

10




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