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历年自主招生考试数学试题大全-2000年上海交大自主招生数学试题

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交通大学 2000 年自主招生考试 数学试题 一、选择题(本题共 15 分,每小题 3 分.在每小题给出的 4 个选项中,只有一项正确, 把所选项的字母填在括号内) 1.若今天是星期二,则 3 ( A.星期四 1998 天之后是 ) C.星期二 D.星期一 B.星期三 2.用 13 个字母 A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T 作拼字游戏,若字母的各种排 列是随机的,恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( A. ) 48 13! 2 2 B. 216 13! C. 1728 13! D. 8 13! 3.方程 cos x x+sinx=m+1 有实数解,则实数 m 的取值范围是 ( ) C.m 2 A. m ? 1 8 B.m D. ?3 ? m ? 1 8 4.若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x +px+q=0 的两个根,则此数 列各项的积是( A.p m ) B.p 2m C.q m D.q 2m 5.设 f ’(x0)=2,则 lim h ?0 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h ) C. D.4 ( A. B.2 二、填空题(本题共 24 分,每小题 3 分) 1.设 f(x)的原函数是 x ? 1 ,则 2.设 x ? (0, ? 1 0 f (2 x)dx ? __________. ? 2 ) ,则函数( sin 2 x ? 1 1 )(cos 2 x ? ) 的最小值是__________. 2 sin x cos 2 x x x x 3.方程 3 ?16 ? 2 ? 81 ? 5 ? 36 的解 x=__________. 4.向量 a ? i ? 2 j 在向量 b ? 3i ? 4 j 上的投影 (a)b ? __________. 5.函数 y ? 2 x ? 3 3 x 2 的单调增加区间是__________. 6.两个等差数列 200,203,206,…和 50,54,58…都有 100 项,它们共同的项的个数 是__________. 7.方程 7x 2 (k+13)x+k 2 k =0 的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则 k 的取 值范围是__________. 8.将 3 个相同的球放到 4 个盒子中,假设每个盒子能容纳的球数不限,而且各种不同的 放法的出现是等可能的,则事件“有 3 个盒子各放一个球”的概率是________. 三、证明与计算(本题 61 分) 1. (6 分)已知正数列 a1,a2,…,an,且对大于 1 的 n 有 a1 ? a2 ? ? an ? 3 n, 2 a1a2 an ? n ?1 . 2 试证:a1,a2,…,an 中至少有一个小于 1. 2. (10 分)设 3 次多项式 f(x)满足:f(x+2)= f( x) ,f(0)=1,f(3)=4, 试求 f(x) . 3. (8 分)求极限 lim 1p ? 2 p ? ? n p ( p ? 0) . n ?? n p ?1 ? x 2 ? bx ? c , x ? 0 4. (10 分)设 f ( x) ? ? 在 x=0 处可导,且原点到 f(x)中直线的距 x?0 ?lx ? m , 离为 1 ,原点到 f(x)中曲线部分的最短距离为 3,试求 b,c,l,m 的值. (b,c>0) 3 5. (8 分)证明不等式: 1 ? sin x ? cos x ? 2 4 , x ? [0, 3 ? 2 ]. 6. (8 分)两名射手轮流向同一目标射击,射手甲和射手乙命中目标的概率都是 手甲先射,谁先命中目标谁就获胜,试求甲、乙两射手获胜的概率. 1 .若射 2 7. (11 分) 如图所示, 设曲线 y ? 1 上的点与 x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1, x △A1B2A2,…,直角顶点在曲线 y ? 和是否存在. 1 上.试求 An 的坐标表达式,并说明这些三角形的面积之 x y B1 B2 O A1 A2 x



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